Nguyên Hàm Ln x Là Gì? Tính Nguyên Hàm Ln, Cách Giải Bài Tập

Trong chương trình toán học Giải tích lớp 12, các em sẽ được học về hàm số ln x và cách tính nguyên hàm ln x. Đây cũng là dạng toán thường gặp trong các đề thi học kỳ, đề thi THPTQG. Vì thế, nếu các em muốn có được điểm số tuyệt đối thì cần phải ghi nhớ chính xác lý thuyết và các công thức tính. Trong bài viết này, Marathon Education sẽ cùng các em ôn tập cách tính nguyên hàm ln x và tổng hợp những bài tập cụ thể để các em tham khảo.

Xem thêm: Toán 12 Nguyên Hàm – Lý Thuyết Và Một Số Bài Tập Ví Dụ

Nguyên hàm ln x là gì?

Ta có hàm số f(x) xác định trên H. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên H khi F(x)’=f(x), với mọi x trên H. Nguyên hàm ln x được tính như sau:

\begin{aligned}
&\text{Đặt u}=\begin{cases}u=lnx\\dv=dx
\end{cases}\rArr \begin{cases}du=\frac{1}{x}dx\\v=x \end{cases}\\
&\text{Ta có} \intop ln\space xdx=xlnx-\lmoustache dx=xlnx-x+C
\end{aligned}

Logarit tự nhiên ln x là gì?

Logarit cơ số e của một số dương x được gọi là logarit tự nhiên (hay còn gọi là logarit Nê-pe) của số x, ký hiệu là ln x.

Ln x = a ⇔ x = e^a (x>0) với e~2,71828…

Tính chất của hàm số logarit tự nhiên ln x: Logarit tự nhiên có đầy đủ tính chất của logarit với cơ số lớn hơn 1.

>>> Xem thêm: Công Thức Tính Nguyên Hàm e Mũ u Và Các Hàm Số Đơn Giản

Bảng nguyên hàm cơ bản

Bảng nguyên hàm dưới đây tổng hợp công thức nguyên hàm cơ bản mà các em nên học thuộc

Tính nguyên hàm ln x

Tính nguyên hàm của hàm số:

∫lnxdx

Hướng dẫn giải:

\begin{aligned}
&\text{Đặt} \begin{cases} u=lnx\\dv=dx\end{cases}\Rightarrow
\begin{cases} du=\frac1xdx\\v=x\end{cases}\\
&\text{Ta có: }∫lnxdx=xlnx-∫dx=xlnx-x+C
\end{aligned}

Bài tập vận dụng tính nguyên hàm ln x

Dạng 1: Tính nguyên hàm ln x cơ bản

Bài tập 1: Các em hãy tìm nguyên hàm của hàm số sau:

∫xlnx.dx

Bài giải:

\begin{aligned}
&\text{Đặt} \begin{cases} u=lnx\\dv=xdx\end{cases}\Rightarrow
\begin{cases} du=\frac1xdx\\v=\frac{x^2}{2}\end{cases}\\
&\text{Ta có: }∫xlnx.dx=\frac{x^2}{2}lnx-∫\frac{x^2}{2}.\frac1xdx=\frac{x^2}{2}lnx-\frac12∫xdx=\frac{x^2}{2}lnx-\frac{x^2}{4}+C
\end{aligned}

Bài tập 2: Biết rằng:

\intop_1^2ln(x+1)dx=a.ln3+b.ln2+c

Biết rằng a, b, c là những số nguyên, các em hãy tính tổng S = a + b + c.

Bài giải:

\begin{aligned}
&\text{Đặt} \begin{cases} u=ln(x+1)\\dv=dx\end{cases}\Rightarrow
\begin{cases} du=\frac{1}{x+1}dx\\v=x+1\end{cases}\\
&\text{Khi đó: }\\
&\intop_1^2ln(x+1)dx=(x+1).ln(x+1)|_1^2-\intop_1^2dx=3ln3-2ln2-1\\
&\text{Vậy }a=3,b=-2,c=-1\\
&\Rightarrow S=a+b+c=0
\end{aligned}

Dạng 2: Tính nguyên hàm ln x chứa phân thức

Bài tập 1: Các em hãy tính nguyên hàm của hàm số:

\int\frac{lnx.dx}{x}

Bài giải:

\begin{aligned}
&\text{Đặt }t=lnx \Rightarrow dt=\frac1xdx\\
&\text{Ta có: }\int\frac{lnx.dx}{x}=\int tdt=\frac{t^2}{2}+C=\frac{ln^2x}{2}=C
\end{aligned}

Dạng 3: Tính nguyên hàm ln x chứa căn thức

Bài tập 1: Các em hãy tính nguyên hàm ln x của hàm số:

I=\int\frac{1}{x\sqrt{lnx+1}}dx

Bài giải:

\begin{aligned}
&\text{Đặt }t=\sqrt{lnx+1} \Rightarrow t^2=lnx+1 \Rightarrow 2t.dt=\frac1xdx\\
&I=\int\frac{1}{x\sqrt{lnx+1}}dx=\int\frac{2t.dt}{t}=\int2dt=2t+C=2\sqrt{lnx+1}+C
\end{aligned}

Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education

Qua bài viết trên, Team Marathon Education đã tổng hợp cho các em những kiến thức về hàm logarit tự nhiên ln x, cách tính nguyên hàm ln x và những dạng bài tập cụ thể. Các em hãy tham khảo và đừng quên áp dụng thường xuyên. 

Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn nếu các em có nhu cầu học trực tuyến nâng cao kiến thức nhé! Marathon Education chúc các em được điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới!