Định nghĩa, tính chất và các công thức của logarit

Logarit là lý thuyết quan trọng của chương trình Toán 12 vì dạng toán này xuất hiện khá nhiều trong các đề thi đại học. Vậy logarit là gì? Những tính chất và công thức nào trong tâm nào của logarit cần nắm? Trong bài viết hôm nay Team Marathon Education sẽ chia sẻ đến các em những lý thuyết trên.

Logarit là gì?

Logarit (viết tắt là Log) là phép toán nghịch đảo của phép lũy thừa. Theo đó, logarit của một số a là số mũ của cơ số b (có giá trị cố định), phải được nâng lũy thừa để tạo thành số a đó.

Hiểu một cách đơn giản hơn, logarit là một phép nhân có số lần lặp đi lặp lại, ví dụ log_ax = y sẽ tương đương với a^y = x. Nếu logarit cơ số 10 của 1000 là 3, ta có, 10³ = 1000 nghĩa là 1000 = 10 x 10 x 10 = 10³ hay log₁₀1000 = 3.

Tóm lại, lũy thừa của các số dương với số mũ bất kỳ luôn có kết quả là một số dương. Do đó, logarit dùng để tính toán phép nhân của 2 số dương bất kỳ luôn đi kèm điều kiện có 1 số dương ≠ 1.

Ta có thể tóm tắt ngắn gọn như sau: 

Cho hai số dương a, b với a ≠ 1. Nghiệm duy nhất của phương trình aⁿ = b được gọi là log_ab (số n có tính chất là aⁿ = b).

Như vậy log_ab = n ⇔ aⁿ = b.

Ví dụ: log₄16 = 2 vì 4² = 16.

Ngoài ra còn có Logarit tự nhiên (còn gọi là Logarit Nêpe) là Logarit cơ số e do nhà toán học John Napier sáng tạo ra. Ký hiệu là lnx hay log_ex. Logarit tự nhiên của một số x là bậc của số e sao cho số e lũy thừa lên bằng x, nghĩa là lnx = a ⇔ e^a=x. Số e có giá trị xấp xỉ bằng 2,71828.

>>> Xem thêm: Cách Giải Phương Trình Logarit Nhanh Và Chính Xác Nhất

Các tính chất của Logarit 

Logarit có các tính chất như sau:

\begin{aligned}
&1/ \text{ Nếu }a > 1;b > 0 \text{ và } c > 0 \text{ thì } log_ab > log_ac ⇔ b > c.\\
&2/ \text{ Nếu }0 < a < 1;b > 0 \text{ và } c > 0 \text{ thì } log_ab > log_ac ⇔ b < c.\\
&3/\  log_a(bc) = log_ab + log_ac\ (0 < a ≠ 1;b > 0 \text{ và } c > 0).\\
&4/\ log_a\frac{b}{c} = log_ab - log_ac\ (0 < a ≠ 1; b >0 \text{ và } c > 0).\\
&5/\ log_ab^n = nlog_ab\ (0 < a ≠ 1; b > 0).\\
&6/\ loga\frac{1}{b} = - log_ab\ (0 < a ≠ 1; b > 0).\\
&7/\ log_a\sqrt[n]{b} = log_ab^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{n}log_ab\ (0 < a ≠ 1; b > 0; n > 0; n ∈ N^*).\\
&8/\ log_ab.log_bc = log_ac ⇔log_bc = \frac{log_ac}{log_ab}\ (0 < a, b ≠ 1, c > 0).\\
&9/\ log_ab = \frac{1}{log_ba} ⇔ log_ab . log_ba = 1\ (0 < a, b ≠ 1).\\
&10/\ log_{a^n}b = \frac{1}{n}log_ab\ (0 < a ≠ 1; b > 0; n ≠ 0).
\end{aligned}

Hệ quả:

a) Nếu a > 1; b > 0 thì log_ab > 0 ⇔ b > 1; log_ab < 0 ⇔ 0 < b < 1.

b) Nếu 0 < a < 1; b > 0 thì log_ab < 0 ⇔ b > 1; log_ab > 0 ⇔ 0 < b < 1.

c) Nếu 0 < a ≠ 1; b, c > 0 thì log_ab = log_ac ⇔ b = c.

Logarit thập phân log₁₀b = logb (= lgb) có đầy đủ tính chất của logarit cơ số a.

Bảng công thức tính logarit cơ bản

Sau đây, Team Marathon Education sẽ chia sẻ đến các em bảng công thức tính logarit cơ bản:

\def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{|c|c|}\hline
\text{STT}& \text{Công thức Logarit}\\ \hline
1& log_a1 = 0\\ \hline
2& log_aa = 1\\\hline
3& log_aa^n = n\\\hline
4&a^{log_an} = n\\\hline
5&log_a(bc) = log_ab + log_ac\\\hline
6&loga\frac{b}{c} = log_ab-log_ac\\\hline
7&log_ab^n = nlog_ab\\\hline
8&log_ab^2 = 2log_a|b|\\\hline
9&log_ac = log_ab.log_bc\\\hline
10&log_ab = \frac{log_nb}{log_na}\\\hline
11&log_ab = \frac{1}{log_ba}\\\hline
12&log_{a^n}b= \frac{1}{n}log_ab\\\hline
13&a^{log_bc} = c^{log_ba}\\\hline
 \end{array}

>>> Xem thêm: Bất Phương Trình Mũ Và Bất Phương Trình Lôgarit – Lý Thuyết Toán 12

Bài tập tính logarit 

Phép logarit hóa có thể biến phép nhân thành phép cộng, phép chia thành phép trừ, phép nâng lên lũy thừa thành phép nhân, phép khai căn thành phép chia, cụ thể là:

Với ∀a, b, c > 0, a ≠ 1 ta có:

\begin{aligned}
&\small \bull log_a(bc) = log_ab + log_ac\\
&\small \bull log_a\frac{b}{c} = log_ab - log_ac\\
\end{aligned}

∀a, b > 0 (a ≠ 1), ∀n ta có:

\begin{aligned}
&\small \bull log_ab^n = n.log_ab\\
&\small \bull log_a\sqrt[n]{b} = \frac1n. log_ab\\
\end{aligned}

Ví dụ: Tính biểu thức logarit sau

A = log_2\frac{15}{2} - 2log_2\sqrt3

Ta có:

\begin{aligned}
A &= log_2\frac{15}{2} - 2log_2\sqrt3\\
&=log_215 - log_22 - 2.\frac12log_23\\
&=log_2(3.5) - 1 - log_23\\
&=log_23 + log_25 - 1 - log_23\\
&=log_25 - 1
\end{aligned}

Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education

Với những kiến thức về logarit bao gồm định nghĩa, tính chất, công thức tính toán mà các Marathon Education vừa chia sẻ, mong rằng các em sẽ nắm vững những kiến thức này và vận dụng tốt để giải được nhiều dạng bài tập khác nhau.

Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn nếu các em có nhu cầu học online nâng cao kiến thức nhé! Marathon Education chúc các em được điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới!