Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit lớp 12

Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit là 2 lý thuyết cơ bản mà các em cần nắm vững vì các kiến thức này thường xuất hiện trong các bài kiểm tra và bài thi đại học. Vậy cụ thể bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit lý thuyết gồm những gì và các dạng bài tập nào? Các em hãy cùng Marathon Education tìm hiểu ngay trong bài viết sau.

>>> Xem thêm: Dạng Bài Tập Và Cách Giải Bất Phương Trình Toán Lớp 10

Bất phương trình mũ và lôgarit lý thuyết

Bất phương trình mũ cơ bản

Bất phương trình mũ có dạng cơ bản là a^x > b (hoặc a^x ≥ b, a^x < b, a^x ≤ b). Trong đó a, b là 2 số đã cho, với a > 0 và a ≠ 1. 

Các em sẽ giải bất phương trình mũ cơ bản bằng cách lôgarit hóa và sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số lôgarit. Ta xét bất phương trình dạng a^x > b như sau: 

• Nếu b ≤ 0 thì tập nghiệm của bất phương trình là D = R vì a^x > 0 ≥ b, ∀x ∈ R.
• Nếu b > 0 thì bất phương trình sẽ tương đương với a^x > a^log_ab.
  • Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là x > log_ab.
  • Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là x < log_ab.

Bất phương trình lôgarit cơ bản

Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng là log_ax > b (hoặc log_ax < b; log_ax ≥ b; log_ax ≤ b). Trong đó ta có a, b là hai số đã cho và a > 0, a ≠ 1. 

Ta giải bất phương trình lôgarit cơ bản theo cách mũ hóa dựa trên cơ sở sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ. Ta xét bất phương trình log_ax > b theo 2 trường hợp như sau: 

• a > 1, ta có log_ax > b ⇔ x > a^b 
• 0 < a < 1, ta có log_ax > b ⇔ 0 < x < a^b

Lưu ý: Các bất phương trình mũ, bất phương trình lôgarit cơ bản trong trường hợp b = a^x và b = log_aa thì có thể sử dụng được tính chất đơn điệu của hàm số mũ và hàm số lôgarit để giải. Các em không cần mũ hóa hay lôgarit hóa.

• Nếu a > 1 thì a^x > a^a ⇔ x > a.
• Nếu 0 < a < 1 thì log_ax > log_aa ⇔ 0 < x < a.

>>> Xem thêm: Cách giải phương trình logarit nhanh và chính xác nhất

Cách giải bài tập về bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

Sau khi tìm hiểu về lý thuyết cơ bản, chúng ta sẽ thực hành dưới dạng bài tập để góp phần củng cố kiến thức hơn. 

Cách giải bất phương trình mũ

• Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số

a^{f(x)}>a^{g(x)} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}
\begin{cases} 0< a <1 \\ f(x)< g(x) \end{cases}\\
\begin{cases} a>1 \\ f(x)> g(x) \end{cases}
\end{array} \right.

Ví dụ 1: Giải bất phương trình mũ 2^-x2+3x < 4 

\begin{aligned} &2^{-x^2+3x}<2^2 ⇔ -x^2 + 3x < 2 ⇔ x^2 - 3x + 2 > 0 ⇔ x < 1 \text{ hoặc }x > 2\\
& \text{Vậy S = }(-∞; 1) ∪ (2; +∞). \end{aligned}

Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau:

\left(\frac79\right)^{2x^2-3x} \ge \frac79 

\begin{aligned} &\left(\frac79\right)^{2x^2-3x} \ge \frac79\\ ⇔\ &\left(\frac79\right)^{2x^2-3x} \ge \left(\frac79\right)^1  \\⇔\ &2x^2 - 3x ≤ 1 \\⇔\ &2x^2 - 3x + 1 ≤ 0 \\⇔\ &12 ≤ x ≤ 1\\
&\text{Vậy S = }[12 ;1].
\end{aligned}

• Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ

αa^2f(x) + βa^f(x) + λ = 0. Đặt t = a^f(x), (t > 0).

Ví dụ: Giải bất phương trình 4^x – 3.2^x + 2 > 0.

Đặt t = 2^x (t > 0 ), ta được bất phương trình:

t² – 3t + 2 > 0 ⇔ 0 < t < 1 hoặc t > 2 ⇔ 0 < 2^x < 1 hoặc 2^x > 2 ⇔ x < 0 hoặc x > 1.

Vậy S = (-∞; 0) Ս (1; +∞).

• Dạng 3: Phương pháp lôgarit hóa

\begin{aligned}
&a^{f(x)}>b \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}
\begin{cases} 0< a <1 \\ f(x)< log_ab \end{cases}\\
\begin{cases} a>1 \\ f(x)> log_ab \end{cases}
\end{array} \right.\\
&a^{f(x)}>b^{g(x)} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}
\begin{cases} 0< a <1 \\ f(x)< g(x).log_ab \end{cases}\\
\begin{cases} a>1 \\ f(x)> g(x).log_ab \end{cases}
\end{array} \right.
\end{aligned}

Ví dụ: Giải bất phương trình 2^x-1 > 3

2^x-1 > 3 ⇔ log₂2^x-1 > log₂3 ⇔ x – 1 > log₂3 ⇔ x > log₂3 + 1 ⇔ x > log₂6

Vậy S = (log₂6; +∞).

Cách giải bất phương trình lôgarit

• Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số

log_af(x)>log_ag(x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}
\begin{cases} 0< a <1 \\ f(x)< g(x)\end{cases}\\
\begin{cases} a>1 \\ f(x)> g(x) \end{cases}
\end{array} \right.\\

Ví dụ 1: Giải bất phương trình logarit log₈(4 – 2x) ≥ 2.

log₈(4 – 2x) ≥ 2 ⇔ 4 – 2x >= 8² ⇔ 2x ≤ -60 ⇔ x ≤ -30. 

Vậy S = (-∞; -30]

Ví dụ 2: Giải bất phương trình log_0,5(3x – 5) > log_0,5 (x + 1).

\begin{aligned}
&log_{0,5}(3x - 5) > log_{0,5} (x + 1) \\
⇔\ &\begin{cases}3x - 5>0\\ 3x - 5< x + 1\end{cases}\\
⇔\ &\begin{cases}x>\frac53\\ x<3\end{cases}\\
⇔\ &\frac53 < x <3\\
&\text{Vậy S }= \left(\frac53; 3\right).
\end{aligned}

• Dạng 2: Phương pháp mũ hóa

Với 0 < a ≠ 1.

log_af(x) = g(x) ⇔ f(x) = a^g(x)

Ví dụ: Giải phương trình log₅(5^x – 4 ) = 1 – x

\begin{aligned}
&log_5(5^x - 4 ) = 1 - x\\
&\text{ĐK: }5^x-4>0 ⇔x>log_54\\
⇔\ &log_5(5x - 4 ) = 1 - x ⇔ 5^x-4 = 5^{1- x}\\
⇔\ &\begin{cases} t=5^x>0 \\ t-4=\frac5t\end{cases}\\
⇔\ &\begin{cases} t=5^x \\ t^2-4t-5=0\end{cases}\\
⇔\ &\begin{cases} t=5^x \\ t=5\end{cases}⇔x=1\\
&\text{Vậy phương trình có nghiệm là }x=1
\end{aligned}

Giải bài tập sách giáo khoa

Bài 6 trang 87 SGK Toán Giải tích 12

\text{Giải bất phương trình}\space 2^x+2^{-x}-3 < 0

\begin{aligned}
&\text{Đặt}\space 2^x=1.\space ĐK:t>0.\space \text{Ta có phương trình đã cho tương đương với phương trình}:\\
& t+\frac{1}{t}-3<0\\
&\Leftrightarrow \frac{t^2-3t+1}{t}<0\\
&\Leftrightarrow  t^2-3t+1<0 (do\space t>0)\\
&\Leftrightarrow \frac{3-\sqrt5}{2} < t <\frac{3-\sqrt5}{2}\\
&\Leftrightarrow log_2\frac{3-\sqrt5}{2}< x< log_2\frac{3+\sqrt5}{1}
\end{aligned}

Bài 1 trang 89 SGK Toán Giải Tích 12

a.

\begin{aligned}
& 2^{-x^2+3x}<4\\
&\Leftrightarrow 2^{-x^2+3x}<2^2\\
&\Leftrightarrow -x^2+3x<2\\
&\Leftrightarrow x^2-3x+2>0\\
&x<1\space hoặc\space x>2
\end{aligned}

b.

\begin{aligned}
&\bigg(\frac{7}{9}\bigg)^{2x^2-3x}\ge\frac{9}{7}\\
&\Leftrightarrow2x^2-3x\le log_{\frac{7}{9}} \bigg(\frac{9}{7}\bigg)\\
&\Leftrightarrow2x^2-3x\le -1\\
&\Leftrightarrow2x^2-3x+1\le 0\\
&\Leftrightarrow\frac{1}{2}\le x\le1

\end{aligned}

c.

\begin{aligned}
&4^x-3.2^x+2>0\\
&\Leftrightarrow (2^x)^2 -3.2x+2>0\\
&\text{Bất phương trình bậc 2 ẩn}\space 2^x\\
&\Leftrightarrow 2^x>2\space hoặc\space 2^x<1\\
&\Leftrightarrow x>1\space hoặc\space x>0\\
&\text{Vậy bất phương trình có tập nghiệm} S=(-\infin;0)U(1,+\infin)
\end{aligned}

Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education

Trên đây là chia sẻ về các kiến thức cơ bản về bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit và cách giải các dạng bài tập thường gặp. Hy vọng với các thông tin hữu ích này sẽ giúp các em có thêm tự tin trong việc học môn Toán. 

Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn nếu các em có nhu cầu học online nâng cao kiến thức nhé! Marathon Education chúc các em được điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới!