Lý Thuyết Đầy Đủ Về Số Phức. Cách Giải Bài Tập Số Phức Bằng Máy Tính Cầm Tay

Số phức là phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán Đại số cấp 3. Có thể nhận thấy, các dạng bài tập về số phức thường xuyên xuất hiện trong các đề kiểm tra hay đề thi. Để hiểu rõ hơn về số phức cũng như biết cách giải bài toán số phức bằng máy tính cầm tay, các em hãy đọc ngay bài viết bên dưới đây từ Team Marathon Education.

>>> Xem thêm: Dạng Bài Tập Và Cách Giải Bất Phương Trình Toán Lớp 10

Khái niệm số phức

• Số phức sẽ được biểu diễn dưới dạng z=a+bi. Trong đó, a và b là các số nguyên. Số a sẽ được gọi là phần thực của số phức, số b được gọi là phần ảo của số phức. Còn giá trị i thì được xem là đơn vị ảo, quy ước i² = – 1.
• Tập hợp số phức sẽ được ký hiệu là C.
• Nếu z là số thực thì phần ảo b sẽ có giá trị bằng 0. Ngược lại, nếu z là số thuần ảo thì giá trị a – phần thực của z sẽ bằng 0. 
• Xét hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Điều kiện để hai số phức này bằng nhau khi và chỉ khi a=a’; b=b’.

Biểu diễn hình học của số phức

Cho một số phức xác định z = a+bi (với a, b là các số thực). Xét trong mặt phẳng phức Oxy, z sẽ được biểu diễn dưới dạng điểm M (a;b) hoặc bởi vectơ u = (a;b). Một điểm cần lưu ý ở đây đó chính là ở mặt phẳng phức, Ox sẽ được gọi là trục thực và Oy sẽ được gọi là trục ảo. 

Môđun số phức

Khái niệm về môđun số phức z = a+bi có thể được hiểu là độ dài của vectơ u (a;b) biểu diễn số phức được đề cập.

\begin{aligned}
&\text{Kí hiệu: }|z|=\sqrt{a^2+b^2}\\
&\bull |z_1z_2|=|z_1|.|z_2|\\
&\bull ||z_1|-|z_2||\le |z_1+z_2| \le |z_1|+|z_2|\\
&\bull \left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}
\end{aligned}

Số phức liên hợp

\begin{aligned}
&\text{Số phức liên hợp của số phức z = a+bi là }\overline{z}=a-bi\\
&\bull|z|=|\overline{z}|; \ \overline{z\mp z}'=\overline{z}\pm \overline{z'} \\&\ \ \ \ \ \overline{z.z'}=\overline{z}.\overline{z'};\  \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}; \ z.\overline{z}=a^2+b^2\\
&\bull\text{Nếu z là số thực thì }z=\overline{z}\\
&\bull\text{Còn nếu z là số ảo thì }z=-\overline{z}
\end{aligned}

Các phép tính với số phức

Dưới đây là một số phép tính giữa 2 số phức z₁=a₁+b₁i và số phức z₂=a₂+b₂i mà các em cần ghi nhớ:

Phép cộng và trừ

• z₁+z₂=a₁+a₂+(b₁+b₂)i
• z₁-z₂=a₁-a₂+(b₁-b₂)i

Phép nhân

• z₁.z₂=(a₁.a₂-b₁.b₂)+(a₁b₂+a₂.b₁)i
• kz₁=ka₁+kb₁i, với k là số nguyên khác 0

Phép chia

\begin{aligned}
&\bull z^{-1}=\frac{1}{z^2}.\overline{z} \text{ với } z\not=0\\
&\bull \frac{z'}{z}=z'.z^{-1}=\frac{z'.z}{|z|^2}=\frac{z'.z}{z.\overline{z}}\\
&\bull \frac{z'}{z}=2 \Leftrightarrow z'=wz
\end{aligned}

Phép khai căn bậc 2

z = x + yi là căn bậc hai của số phức w = a + bi ⇔ z² = w ⇔ x² – y² = a và 2xy = b.

• w = 0 có đúng một giá trị căn bậc 2 là z= 0.
• w ≠ 0 có đúng hai căn bậc 2 đối nhau. 

Số phức dưới dạng lượng giác

\begin{aligned}
&\footnotesize\text{Đặt }r=\sqrt{a^2+b^2},\ cos\varphi=\frac{a}{r},\ sni\varphi=\frac{b}{r} \text{ thì số phức }z=a+bi \text{ sẽ được biểu diễn}\\
&\footnotesize\text{dưới dạng: }z=r(cos\varphi+isin\varphi). \text{ Trong đó:}\\
&\footnotesize\ \ \ \bull \varphi\text{ là acgumen của số phức z}\\
&\footnotesize\ \ \ \bull z^n=r^n(cos(n\varphi)+isin(n\varphi))
\end{aligned}

Cách giải bài tập số phức bằng máy tính cầm tay

Máy tính cầm tay sẽ là “trợ thủ đắc lực” giúp các em giải quyết các bài toán liên quan về số phức đơn giản hơn. Dưới đây là cách giải bài toán số phức bằng máy tính bỏ túi mới nhất mà các em cần biết.

• Bước 1: Các em thiết lập môi trường tính toán số phức bằng cách bấm phím MODE + 2.
• Bước 2: Khi trên màn hình máy tính hiện dòng chữ CMPLX thì có nghĩa là môi trường đã được thiết lập xong. Lúc này, các em sẽ tiến hành thao tác bấm máy như thông thường. 

Ngoài ra, Marathon Education cũng sẽ giới thiệu đến các em một số cách bấm phím với số phức qua bảng như sau:

Để giúp các em hình dung cách bấm tốt hơn, Marathon Education có chia sẻ một số ví dụ sau:

Ví dụ 1: Tính z = (1 + 2i)³ + (3 – i)²

• Bấm MODE 2.
• Bấm (1 + 2i)³ + (3 – i)² sẽ cho kết quả bằng -3 – 8i.

Ví dụ 2: Tìm modun của số phức

\begin{aligned}
&z = \left(\frac{3i+1}{2+i}\right)^2\\
&\bull\text{Bấm MODE 2.}\\
&\bull\text{Bấm }\left(\frac{3i+1}{2+i}\right)^2 \text{ thì sẽ được giá trị bằng 2.}
\end{aligned}

Ví dụ 3:

\text{Tìm }\overline{z}\text{ biết }z=\frac{3i-2}{i+1} 

Ở bài này ta sẽ có 2 cách bấm máy, cụ thể như sau:

• Cách 1: Rút gọn z rồi đảo dấu phần ảo

\footnotesize \text{Sau khi bấm MODE 2, ta tiếp tục bấm }\frac{3i-2}{i+1} \text{ sẽ được kết quả }\frac12+\frac52i.\text{ Vậy, giá trị }\overline{z}=\frac12-\frac52i.

• Cách 2: Bấm máy trực tiếp (nhấn shift 2 2)

\footnotesize \text{Nhập phép toán vào máy tính thì màn hình sẽ hiện là Conjg}\left(\frac{3i-2}{1+1}\right), \text{  được kết quả bằng }\frac12-\frac52i.

Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education

Kiến thức về số phức không phải là quá khó. Chỉ cần dành nhiều thời gian rèn luyện, các em sẽ sớm “công phá” được dạng toán này từ A đến Z. Ngoài ra, các em có thể học online thêm nhiều kiến thức Toán – Lý – Hóa hữu ích khác trên website Marathon. Chúc các em luôn học tập tốt và đạt điểm cao trong các kì thi.