Công Thức Tính Đạo Hàm Căn Bậc 3 Và Một Số Ví Dụ Minh Họa

Marathon Team - 17/02/2022

Đạo hàm căn bậc 3 là phần nội dung các em cần nắm vững trong chương trình Toán 11. Các bài kiểm tra và đề thi đều có dạng bài tập xoay quanh phần lý thuyết này. Để củng cố kiến thức về công thức tính đạo hàm căn bậc 3 với một số ví dụ minh họa, các em hãy đọc ngay bài viết bên dưới đây từ Marathon Education.

>>> Xem thêm:

Toán 12 Nguyên Hàm – Lý Thuyết, Công Thức Và Các Dạng Bài Tập

Bảng Nguyên Hàm Và Công Thức Nguyên Hàm Đầy Đủ, Chi Tiết

Dạng Bài Tập Và Cách Giải Bất Phương Trình Toán Lớp 10

Đạo hàm là gì?

Đạo hàm là gì?
Đạo hàm là gì? (Nguồn: Internet)

Đầu tiên, các em cần phải hiểu rõ bản chất của đạo hàm.

\begin{aligned}
&\small \text{Lấy một hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b), với }x_0 \in (a;b). \text{Ta có giới hạn hữu tỉ (nếu }\\
&\small\text{tồn tại) của tỉ số }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \text{ khi } x\to x_0 \text{ được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho trước tại }x_0.\\
&\small \text{Kí hiệu đạo hàm là }f’(x_0) \text{ hay } y’(x_0).\\
&\small\text{Theo đó, ta sẽ có } f'(x_0)=\lim\limits_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}. \text{ Nếu ta đặt } x-x_0=\Delta x \text{ và } f(x_0+\Delta x)-f(x_0) =\Delta y\\
&\small  \text{thì ta sẽ thu được }f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}. \text{ Trong đó: }\\
&\small \ \ \ \bull \text{x: số gia của đối số tại }x_0\\
&\small \ \ \ \bull \text{y: số gia tương ứng của hàm số đã cho.}
\end{aligned}

>>> Xem thêm: Tổng Hợp Các Kí Hiệu Trong Toán Học Phổ Biến Đầy Đủ Và Chi Tiết

Cách tính đạo hàm của hàm căn thức

Đối với hàm số có chứa căn thức, các em sẽ áp dụng những công thức tính đạo hàm của hàm căn thức sau để giải quyết các bài toán:

(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}} \ \ \  \text{và} \ \ \  (\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}} \text{ với hàm u là hàm hợp}

Ngoài ra, nếu cần tính đạo hàm căn bậc 3 trở lên hay hàm số có căn thức dưới mẫu thì các em có thể biến đổi biểu thức và sử dụng các công thức đạo hàm dưới đây:

\begin{aligned}
&\bull \sqrt[n]{u}=u^{\frac{1}{n}}\\
&\bull \sqrt[n]{u^m}=u^{\frac{m}{n}}\\
&\bull (u^\alpha)'=\alpha.u^{\alpha - 1}.u'\\
&\bull \left(\frac{1}{u}\right)'=-\frac{u'}{u^2}
\end{aligned}

Ví dụ về cách tính đạo hàm của hàm căn thức cụ thể như sau:

\begin{aligned}
\bull\ &y=\sqrt{2x}\\
&y'=\left(\sqrt{2x}\right)'=\frac{(2x)'}{2\sqrt{2x}}=\frac{2}{2\sqrt{2x}}=\frac{1}{\sqrt{2x}}\\
\bull\ &y=\sqrt{2x+1}\\
&y'=\left(\sqrt{2x+1}\right)'=\frac{(2x+1)'}{2\sqrt{2x+1}}=\frac{2}{2\sqrt{2x+1}}=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}\\
\bull\ &y=\sqrt{2x^2+1}\\
&y'=\left(\sqrt{2x^2+1}\right)'=\frac{(2x^2+1)'}{2\sqrt{2x^2+1}}=\frac{4x}{2\sqrt{2x^2+1}}=\frac{2x}{\sqrt{2x^2+1}}\\
\bull\ &y=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}\\
&y'=\left(\frac{1}{\sqrt{2x+1}}\right)'=-\frac{\left(\sqrt{2x+1} \right)'}{\sqrt{(2x+1)^2}}=-\frac{(2x+1)'}{2\sqrt{2x+1}}.\frac{1}{\sqrt{(2x+1)^2}}\\
&\ \ \ =-\frac{2}{2\sqrt{2x+1}}.\frac{1}{\sqrt{(2x+1)^2}}=-\frac{1}{\sqrt{2x+1}}.\frac{1}{\sqrt{(2x+1)^2}}\\
\bull\ &y=\sqrt{x+\sqrt{x}}\ \ \ (x>0)\\ 
&y'=\left(\sqrt{x+\sqrt{x}}\right)'=\frac{(x+\sqrt{x})'}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}=\frac{1+\frac{1}{2\sqrt{x}}}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}=\frac{2\sqrt{x}+1}{4\sqrt{x}\sqrt{x+\sqrt{x}}}=\frac{2\sqrt{x}+1}{4\sqrt{x^2+x\sqrt{x}}}\\
\bull\ &y=sin\sqrt{x+1}\\
&y'=\left(sin\sqrt{x+1}\right)'=(\sqrt{x+1})'.cos\sqrt{x+1}=\frac{(x+1)'}{2\sqrt{x+1}}.cos\sqrt{x+1}=\frac{cos\sqrt{x+1}}{2\sqrt{x+1}}\\
\bull\ &y=\sqrt[5]{2x+3}=(2x+3)^{\frac{1}{5}}\\
&y'=\left[(2x+3)^{\frac{1}{5}} \right]'=\frac{1}{5}(2x+3)^{\frac{-4}{5}}(2x+3)'=\frac{2}{5}.\frac{1}{(2x+3)^{\frac{4}{5}}}=\frac{2}{5}.\frac{1}{\sqrt[5]{(2x+3)^4}}\\
\bull\ &y=\sqrt[5]{(2x^2+1)^3}=(2x^2+1)^\frac{3}{5}\\
&y'=\left[(2x^2+1)^\frac{3}{5} \right]'=\frac{3}{5}(2x^2+1)^{\frac{-2}{5}}(2x^2+1)'=\frac{3}{5}.4x.\frac{1}{(2x^2+1)^{\frac{2}{5}}}=\frac{12}{5}x.\frac{1}{\sqrt[5]{(2x^2+1)^2}}\\
\end{aligned}

>>> Xem thêm: Công Thức Đạo Hàm Hàm Hợp Và Bài Tập Ứng Dụng

Công thức tính đạo hàm căn bậc 3

Đối với dạng bài tập tính đạo hàm liên quan đến số mũ hữu tỉ, các em cần lưu ý các lý thuyết sau:

\begin{aligned}
&\bull \ \text{Lũy thừa với số mũ nguyên dương } a\in\R: a_n=a.a.a...a \text{ (n thừa số a)}.\\
&\bull \ \text{Lũy thừa với số mũ nguyên âm } a\not= 0: a^{-n}=\frac{1}{a^n} \text{ và } a^0=1.\\
&\bull \ \text{Lũy thừa với số mũ hữu tỉ }a>0: a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m}\ (m,n\in \Z, n\geq 2).
\end{aligned}

Từ đó có thể suy ra được công thức tính đạo hàm căn bậc 3 như sau:

\begin{aligned}
\sqrt[3]u &=u^\frac{1}{3}\\
\Rightarrow(u^\frac{1}{3})'&=\frac{1}{3}.u'.u^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}.u'.u^\frac{-2}{3}=\frac{1}{3}.u'.\frac{1}{u^\frac{2}{3}}\\
&=\frac{1}{3}.u'.\frac{1}{\sqrt[3]{u^2}}
\end{aligned}

Dưới đây là một số ví dụ về đạo hàm căn bậc 3:

\begin{aligned}
\bull\ &y=\sqrt[3]{x^2}=x^\frac{2}{3}\\
&y'=\left(x^\frac{2}{3}\right)' =\frac{2}{3}.x^{\frac{2}{3}-1}=\frac{2}{3}.x^\frac{-1}{3}=\frac{2}{3}.\frac{1}{\sqrt[3]x}\\
\bull\ &y=\sqrt[3]{x^2+1}=(x^2+1)^\frac{1}{3}\\
&y'=\left[(x^2+1)^\frac{1}{3}\right]'=\frac{1}{3}(x^2+1)'(x^2+1)^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}.2x.(x^2+1)^{\frac{-2}{3}}=\frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2+1)^2}}\\
\end{aligned}

>>> Xem thêm: Cách Tính Đạo Hàm Hàm Số Mũ Và Bài Tập Áp Dụng

Học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại Marathon Education

Marathon Education là nền tảng học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh uy tín và chất lượng hàng đầu Việt Nam dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình giảng dạy bám sát chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, Marathon Education sẽ giúp các em lấy lại căn bản, bứt phá điểm số và nâng cao thành tích học tập.

Tại Marathon, các em sẽ được giảng dạy bởi các thầy cô thuộc TOP 1% giáo viên dạy giỏi toàn quốc. Các thầy cô đều có học vị từ Thạc Sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong giáo dục. Bằng phương pháp dạy sáng tạo, gần gũi, các thầy cô sẽ giúp các em tiếp thu kiến thức một cách nhanh chóng và dễ dàng.

Marathon Education còn có đội ngũ cố vấn học tập chuyên môn luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học tập và cá nhân hóa lộ trình học tập của mình.

Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu cùng nền tảng công nghệ, mỗi lớp học của Marathon Education luôn đảm bảo đường truyền ổn định chống giật/lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.

Nhờ nền tảng học livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, các em có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường.

Khi trở thành học viên tại Marathon Education, các em còn nhận được các sổ tay Toán – Lý – Hóa “siêu xịn” tổng hợp toàn bộ công thức và nội dung môn học được biên soạn chi tiết, kỹ lưỡng và chỉn chu giúp các em học tập và ghi nhớ kiến thức dễ dàng hơn.

Marathon Education cam kết đầu ra 8+ hoặc ít nhất tăng 3 điểm cho học viên. Nếu không đạt điểm số như cam kết, Marathon sẽ hoàn trả các em 100% học phí. Các em hãy nhanh tay đăng ký học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – lớp 12 năm học 2022 – 2023 tại Marathon Education ngay hôm nay để được hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39% giảm từ 699K chỉ còn 399K.

Các khóa học online tại Marathon Education

Đạo hàm căn bậc 3 là phần kiến thức khó và gây nhiều khó khăn trong quá trình học tập cho nhiều học sinh. Hy vọng sau khi đọc xong bài viết của Marathon với các bài tập ví dụ có lời giải chi tiết, các em đã nắm vững công thức tính đạo hàm của hàm căn thức và công thức tính đạo hàm căn bậc 3. Để học thêm nhiều kiến thức Toán – Lý – Hóa 10 – 11 – 12 bổ ích khác, các em hãy thường xuyên theo dõi wesite của Marathon Education. Chúc các em luôn đạt được nhiều thành tích cao trong học tập!

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM