Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai – Lý Thuyết Toán 10

Để giúp các em củng cố kiến thức về phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, định lý Vi – ét trong chương trình Đại số đã được học ở cấp hai, Team Marathon Education sẽ giới thiệu đến các em các kiến thức liên quan đến phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai và một số dạng bài tập qua bài viết sau.

>>> Xem thêm: Lý Thuyết Toán 10 Hàm SốBậc Hai Và Các Dạng Bài Tập Thường Gặp

Phương trình bậc nhất 

Giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 (1)

\begin{aligned}
&\small \bull a ≠ 0: (1) \text{ có nghiệm duy nhất }x = -\frac{b}{a}\\
&\small \bull a = 0;b ≠ 0: (1) \text{ vô nghiệm.}\\
&\small \bull a = 0; b = 0: (1)\text{ có nghiệm đúng với mọi }x∈ R.
\end{aligned}

Phương trình ax + b = 0 với a ≠ 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn x.

>>> Xem thêm: Lý Thuyết Toán 10 Dấu Của Nhị Thức Bậc Nhất Và Bài Tập Vận Dụng

Phương trình bậc hai 

Phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) (2)

Δ = b² – 4ac được gọi là biệt thức của phương trình (2).

\begin{aligned}
&\small \bull Δ > 0 \text{ thì (2) có 2 nghiệm phân biệt }x_1,\ x_2 = \frac{-b \pm\sqrtΔ}{2a}\\
&\small \bull Δ = 0 \text{ thì (2) có nghiệm kép }x = - \frac{b}{2a}\\
&\small \bull Δ < 0 \text{ thì (2) vô nghiệm.}
\end{aligned}

>>> Xem thêm: Lý Thuyết Toán 10 Dấu Của Tam Thức Bậc Hai Và Cách Xét Dấu

Định lý Vi-ét 

Nếu phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x₁, x₂ thì:

x_1+x_2=-\frac{b}{a}\ \ ; \ \ x_1.x_2=\frac{c}{a}

Định lý Vi-ét đảo: Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u, v là các nghiệm của phương trình: x² – Sx + P = 0.

>>> Xem thêm: Tổng Hợp Các Kí Hiệu Trong Toán Học Phổ Biến Đầy Đủ Và Chi Tiết

Các phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai

Để giúp các em nắm vững hơn kiến thức về các phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai, Marathon Education đã tổng hợp bốn dạng toán thường gặp nhất dưới đây.

Dạng 1: Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối 

Phương pháp giải:

Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ) ta tìm cách để khử dấu GTTĐ bằng cách:

• Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ.
• Bình phương hai vế.
• Đặt ẩn phụ.

Phương trình dạng |f(x)| = |g(x)| ta có thể giải bằng cách biến đổi tương đương như sau:

|f(x)|=|g(x)| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} f(x)=g(x)\\f(x)=-g(x) \end{array} \right. \text{hoặc }|f(x)|=|g(x)| \Leftrightarrow f^2(x)=g^2(x)

Đối với phương trình dạng |f(x)| = |g(x)| (*) ta có thể biến đổi tương đương như sau:

|f(x)|=|g(x)| \Leftrightarrow \begin{cases} f^2(x) = g^2(x)\\ g(x) ≥ 0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} \left[ \begin{array}{c} f(x)=g(x)\\f(x)=-g(x) \end{array} \right.\\ g(x) ≥ 0\end{cases}\\
{Hoặc }\ |f(x)| = |g(x)| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}
\begin{cases} f(x)=g(x)\\f(x) \ge 0 \end{cases}\\
\begin{cases} -f(x)=g(x)\\f(x) < 0 \end{cases}
 \end{array}\right.

Ví dụ: Giải phương trình |2x + 1| = |x² – 3x – 4|

\begin{aligned}
&|2x + 1| = |x2 - 3x - 4|\\
\Leftrightarrow&\left[ \begin{array}{c} 2x + 1 = x^2 - 3x - 4\\2x + 1 = -(x^2 - 3x - 4) \end{array} \right.\\
\Leftrightarrow&\left[ \begin{array}{c}  x^2 - 5x - 5=0\\x^2-x-3=0 \end{array} \right.\\
\Leftrightarrow&\left[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{c} x=\frac{-5\pm\sqrt{45}}{2}\\ x=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{2} \end{array} \right.\\
&\small \text{Vậy phương trình có nghiệm là }x=\frac{-5\pm\sqrt{45}}{2} \text{ và }x=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{2}
\end{aligned}

>>> Xem thêm: Dạng Bài Tập Và Cách Giải Bất Phương Trình Toán Lớp 10

Dạng 2: Phương trình chứa ẩn ở mẫu 

Phương pháp giải:

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta thường

– Quy đồng mẫu số (chú ý cần đặt điều kiện mẫu số khác không)

– Đặt ẩn phụ.

Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình sau

\frac{2x + 1}{3x + 2} = \frac{x + 1}{x - 2}

\begin{aligned}
&\text{ĐKXĐ: }x\not=-\frac{2}{3} \text{ và } x\not=2\\
&\frac{2x + 1}{3x + 2} = \frac{x + 1}{x - 2}\\
\Leftrightarrow\  &(2x + 1) (x - 2) = (x + 1) (3x + 2)\\
\Leftrightarrow\  &2x^2 - 4x + x - 2 = 3x^2 + 2x + 3x + 2\\
\Leftrightarrow\ &x^2 + 8x + 4 = 0\\
\Leftrightarrow\ &x = -4 ± 2\sqrt3 \text{ (thỏa mãn điều kiện)}\\
&\text{Vậy phương trình có nghiệm là }x = -4 ± 2\sqrt3.
\end{aligned}

Dạng 3: Phương trình chứa ẩn trong căn 

Để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương hai vế để đưa về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn.

\begin{aligned}
&\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\Leftrightarrow \begin{cases} f(x)= g(x) \\ f(x) \ge 0 \text{ hoặc } g(x) \ge 0\end{cases}\\
&\sqrt{f(x)}=g(x)\Leftrightarrow \begin{cases} f(x)= [g(x)]^2 \\ g(x) \ge 0\end{cases}\\
\end{aligned}

Ví dụ: Giải phương trình sau:

\sqrt{x^2+2x+4}=\sqrt{2-x}

\begin{aligned}
&\text{ĐKXĐ: }\begin{cases}x^2+2x+4 \ge0\\ 2-x\ge0 \end{cases} \Leftrightarrow x\le2\\
&\sqrt{x^2+2x+4}=\sqrt{2-x}\\
\Leftrightarrow\ &x^2 + 2x + 4 = 2 - x\\
\Leftrightarrow\ & x^2 + 3x + 2 = 0\\
\Leftrightarrow\ &\left[ \begin{array}{c} x=-1\\x=-2 \end{array} \right.\\
&\text{Vậy phương trình có nghiệm là }x = -1 \text{ và } x=-2
\end{aligned}

Dạng 4: Phương trình trùng phương 

Phương trình có nghiệm trùng phương ax⁴ + bx² + c = 0, (a ≠ 0) có thể đưa về phương trình bậc hai bằng cách đặt t = x² (t ≥ 0).

Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education

Hy vọng những kiến thức về phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai mà Team Marathon Education vừa chia sẻ sẽ giúp các em củng cố bài học của mình, vận dụng và giải được các dạng bài tập có liên quan. Các em nhớ truy cập vào website của Marathon để học online thêm nhiều thông tin bổ ích về học toán 10 online khác. Chúc các em thành công!