Lý Thuyết Hàm Số Lũy Thừa Toán 12 Định Nghĩa Và Bài Tập Minh Họa

\begin{aligned}
&\footnotesize\text{Hàm số y}=x^\alpha \text{ có đạo hàm tại mọi }x\in(0;+\infin) \text{ và y'}=(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}.\\
&\footnotesize\text{Nếu hàm số u = u(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm trong khoảng J thì }\\
&\footnotesize\text{hàm số } y=u^\alpha(x) \text{ cũng có đạo hàm trên J là:}\\
&y'=[u^\alpha(x)]^{-1}=\alpha x^{\alpha-1}.(x).u'(x)
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\forall x \in \R, \ (x^n)'=nx^{n-1}\\
&\forall x \in J,\ [u^n(x)]'=nu^{n-1} \ (x) \ u'(x) \\
&\text{(nếu u=u(x) có đạo hàm trong khoảng J)}
\end{aligned}

\begin{aligned}
& \forall x \not=0, (x^n)'=nx^{n-1}\\
&\forall x \in J, [u^n(x)]'=nu^{n-1}.(x).u'(x)\\
&\text{(nếu u=u(x) } \not= 0 \text{ có đạo hàm trong khoảng J)}
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\footnotesize\text{Hàm số }y=\sqrt[n]{x}\text{ có thể được xem như là dạng mở rộng của hàm số lũy thừa }\\
&\footnotesize y=x^\frac{1}{n} \text{ (tập xác định của }y=\sqrt[n]{x}\text{ chứa tập xác định của }y=x^\frac{1}{n} \text{ và trên tập}\\
&\footnotesize\text{xác định của }y=x^\frac{1}{n}\text{thì hai hàm số trùng nhau).}\\
&\footnotesize \text{Công thức tính đạo hàm căn thức:}\\
&\footnotesize y=\sqrt[n]{x}=x^\frac{1}{n} \text{\ \ \ \ và\ \ \ \ } (x^\frac{1}{n})'=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}\\
&\footnotesize \Rightarrow (\sqrt[n]{x})'=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}\\
&\footnotesize \Rightarrow (\sqrt[n]{u(x)})'=\frac{u'(x)}{n\sqrt[n]{u^{n-1}(x)}}\\
\end{aligned}

\begin{aligned}
&a) \ y=(1-x)^{\frac{-1}{3}}\\
&b)\ y=(2-x^2)^\frac35\\
&c)\ y=(x^2-1)^{-2}\\
&d)\ y=(x^2-x-2)^{\sqrt2}
\end{aligned}

\begin{aligned}
&a)\text{ Hàm số }y=(1-x)^{\frac{-1}{3}}\text{ xác định } \Leftrightarrow 1-x>0\Leftrightarrow x<1\\
&\text{Vậy tập xác định }D=(-\infin;1).\\
&b)\text{ Hàm số } y=(2-x^2)^\frac35\text{ xác định } \Leftrightarrow 2-x^2>0 \Leftrightarrow x^2<2\Leftrightarrow -\sqrt2 < x <\sqrt2\\
&\text{Vậy tập xác định }D=(-\sqrt2;\sqrt2).\\
&c)\text{ Hàm số }y=(x^2-1)^{-2}\text{ xác định } \Leftrightarrow x^2-1\not=0\Leftrightarrow x^2\not=1 \Leftrightarrow x\not= \pm1\\
&\text{Vậy tập xác định }D=\ R \backslash\{-1;1\}  .\\
&d)\text{ Hàm số }y=(x^2-x-2)^{\sqrt2}\text{ xác định }\Leftrightarrow x^2-x-2>0 \Leftrightarrow(x+1)(x-2)>0\\
&\Leftrightarrow x<-1 \text{ hoặc }x>2\\
&\text{Vậy tập xác định }D=(-\infin;-1)∪(2;+\infin) .\\
\end{aligned}\\

y = (3x^2 – 1)^{-\sqrt2}

\begin{aligned}
y' &= \left[(3x^2 – 1)^{-\sqrt2}\right]'\\
&=-\sqrt2(3x^2-1)^{-\sqrt2-1}.(3x^2-1)'\\
&=-\sqrt2(3x^2-1)^{-\sqrt2-1}.6x\\
&=-6\sqrt2x(3x^2-1)^{-\sqrt2-1}
\end{aligned}