Bất Phương Trình Toán Lớp 10: Các Dạng Bài Tập Và Cách Giải

\begin{aligned}
&f(x) < g(x), f(x) > g(x), f(x) \le g(x),f(x)\ge g(x)
\end{aligned}

P(x).Q(x) > 0 

\frac{P(x)}{Q(x)}>0

ax^2+bx+c>0, \ \forall x\in\R \Leftrightarrow \begin{cases}a>0\\\Delta<0\end{cases}\\
ax^2+bx+c<0, \ \forall x\in\R \Leftrightarrow \begin{cases}a<0\\\Delta<0\end{cases}\\

|f(x)| < g(x) \Leftrightarrow \begin{cases}g(x) > 0 \\ -g(x) < f(x) < g(x)\end{cases}

|f(x)| > g(x) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}
\begin{cases}
g(x) < 0\\ f(x) \ \text{có nghĩa}
\end{cases}\\
\left\{\begin{array}{l}
g(x)\ge0\\
\left[\begin{array}{l}
f(x)<-g(x) \\
f(x)>g(x)\\
\end{array}\right.
\end{array}\right.
\end{array}\right.

x+1 \ge \sqrt{2(x^2-1)}

\begin{aligned}
&x+1 \ge \sqrt{2(x^2-1)}\\
\Leftrightarrow&\begin{cases}x+1\ge 0\\(x+1)^2 \ge 2(x^2-1)\\x^2-1\ge 0 \end{cases}\\
\Leftrightarrow&\begin{cases}x\ge -1\\x^2-2x-3\le0\\x^2\ge 1 \end{cases}\\
\Leftrightarrow&\begin{cases}x\ge -1\\-1\le x \le 3\\ \left[\begin{array}{c} x\le-1\\x\ge 1 \end{array}  \right. \end{cases}\\
\Leftrightarrow&\left[\begin{array}{c} x=-1\\1\le x \le 3 \end{array}  \right.\\
&\text{Vậy tập nghiệm của bất phương trình là } S=[1;3] ∪\{-1\}
\end{aligned}

\begin{aligned}
&a) \space x^2+ \sqrt{x+8} \le-3\\
&b)\space \sqrt{1+2(x-3)^2}+\sqrt{5-4x+x^2}<\frac{3}{2}
\end{aligned}

\begin{aligned}
&Lời\space giải:\\
&a)\text{Điều kiện xác định }x\ge-8\\
&Ta\space có:x^2\ge0;\sqrt{x+8}\ge0\space nên\space x^2+\sqrt{x+8}\ge-3\space với\space mọi\space x\ge-8\\
&BPT\space x^2+\sqrt{x+8}\le-3\space vô\space nghiệm 
\end{aligned}

\begin{aligned}
&b)Tập\space xác\space\ định:D=R\\
&1+2(x-3)^2\ge1+0=1\\
&=>\sqrt{1+2(x-3)^2}\ge\sqrt{1}=1\\
&5-4x+x^2=1+(4-4x+x^2)\\
&=1+(2-x)^2\ge1\\
&=>\sqrt{5-4x+x^2}\ge\sqrt{1}=1\\
&=>\sqrt{1+(2-x)^2}+\sqrt{5-4x+x^2}\\
&\ge1+1=2\ge\frac{3}{2}\\
&với\space mọi\space x\in R\\
&=>BPT \sqrt{1+(2-x)^2}+\sqrt{5-4x+x^2}<\frac{3}{2}\space vô\space nghiệm
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\frac{3x+1}{2}-\frac{x-2}{3}<\frac{1-2x}{4}\\
\end{aligned}

\begin{aligned}
&Lời\space giải\\
&Tập\space xác\space định:D=R\\
&\frac{3x-1}{2}-\frac{x-2}{3}<\frac{1-2x}{4}\\
&\Leftrightarrow\frac{6.(3x+1)-4(x-2)}{12}<\frac{3(1-2x)}{12}\\
&\Leftrightarrow6(3x+1)-4(x-2)<3(1-2x)\\
&\Leftrightarrow18x+6-4x+8<3-6x\\
&\Leftrightarrow20x<-11\\
&\Leftrightarrow x<-\frac{11}{20}\\
&\text{Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S=}\bigg(-\infin,\frac{-11}{20}\bigg)
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\begin{cases}
6x+\frac{5}{7}<4x+7\\
\frac{8x+3}{2}<2x+5
\end{cases}\\
&Lời\space giải:\\
&\begin{cases}
&6x+\frac{5}{7}<4x+7\\
&\frac{8x+3}{2}<2x+5
&\end{cases}\\
&\begin{cases}
6x-4x<7-\frac{5}{7}\\
4x-2x<5-\frac{3}{2}
&\end{cases}\\
&\begin{cases}
x<\frac{22}{7}(1)\\
x<\frac{7}{4}(2)
&\end{cases}\\
&\text{Kết hợp (1) và (2) ta được tập nghiệm của hệ bất phương trình:}\\
&T=(-\infin;\frac{22}{7})\cap (-\infin;\frac{7}{4})=(-\infin;\frac{7}{4})
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\begin{cases}
15x-2>2x+\frac{1}{3}\\
2(x-4)<\frac{3x-14}{2}
\end{cases}\\
&Lời\space giải:\\
&15x-2>2x+\frac{1}{3}\\
&\Leftrightarrow x>\frac{7}{39} (1)\\
&\Leftrightarrow 2(x-4)<\frac{3x-14}{2}\\
&\Leftrightarrow x<2 (2)\\
&\text{Kết hợp (1) và (2) ta được tập nghiệm của hệ phương trình là:}\\
&S=\bigg(\frac{7}{39};+\infin\bigg)\cap \bigg(-\infin;2\bigg)=\bigg(\frac{7}{39};2\bigg)

\end{aligned}

\begin{aligned}
&(2x-1)(x+3)-3x+1\le(x-1)(x+3)+x^2-5\\
&Lời\space giải:\\
&\Leftrightarrow 2x^2+6x-x-3-3x+1\le x^2+3x-x-3+x^2-5\\
&\Leftrightarrow2x^2+2x-2\le 2x^2+2x-8\\
&\Leftrightarrow6\le 0 (vô\space lý)\\
&Vậy\space bất\space phương\space trình\space vô\space nghiệm
\end{aligned}