Tích Phân Suy Rộng Là Gì? Cách Tính Tích Phân Suy Rộng

\footnotesize \intop_a^{+\infin}f(x)dx \text{ và } \intop_α^{+\infin}f(x)dx \text{ cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ (Cùng bản chất)}

\footnotesize \intop_a^{+\infin}f(x)dx \text{ và } \intop_a^{+\infin}αf(x)dx \text{ cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ (Cùng bản chất)}\\

\begin{aligned}
&\footnotesize \intop_a^{+\infin}f(x)dx\text{ và }\intop_a^{+\infin}g(x)f(x)dx \text{ hội tụ}\Rightarrow \intop_a^{+\infin}(f+g)dx  \text{ hội tụ}\\
&\footnotesize \intop_a^{+\infin}f(x)dx \text{ hội tụ và }\intop_a^{+\infin}g(x)f(x)dx \text{ phân kỳ} \Rightarrow \intop_a^{+\infin}(f+g)dx \text{ phân kỳ} 
\end{aligned}

\lim\limits_{b\to +\infin}\intop_a^bf(x)dx:=\intop_a^{+\infin}f(x)dx

\begin{aligned}
&\footnotesize\bull \text{Nếu giới hạn này là hữu hạn, ta suy ra} \textbf{ tích phân suy rộng}\intop_a^{+\infin}f(x)dx \text{ là hội tụ.}\\
&\footnotesize\bull \text{Nếu giới hạn này là vô cùng hoặc không tồn tại, ta suy ra}\textbf{ tích phân suy rộng}\intop_a^{+\infin}f(x)dx \text{ là phân kỳ.}
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\intop_a^bf(x)dx=\lim\limits_{t\to a^+}\intop^b_tf(x)dx \text{ và }\intop_a^bf(x)dx=\lim\limits_{t\to a^+,\ t'\to b^-}\intop_t^{t'}f(x)dx

\end{aligned}

\intop_a^bf(x)dx=\intop_a^cf(x)dx+\intop_c^bf(x)dx

\begin{aligned}
&\footnotesize \text{Nếu }\intop_a^{-\infin}g(x)dx \text{ hội tụ thì }\intop_a^{+\infin}f(x)\text{ hội tụ.}\\
&\footnotesize \text{Nếu }\intop_a^{+\infin}f(x)dx \text{ phân kỳ thì }\intop_a^{-\infin}g(x)\text{ phân kỳ.}
\end{aligned}

\lim\limits_{x\to +\infin}\frac{f(x)}{g(x)}=k

\begin{aligned}
&\footnotesize \bull \text{Nếu } 0< k < +\infin \text{ thì }\intop_a^{+\infin}f(x)dx \text{ và} \intop_a^{-\infin}g(x)dx \text{ sẽ cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.}\\
&\footnotesize \bull \text{Nếu } k=0 \text{ thì tồn tại M sao cho }f(x) \le c.g(x), \forall x \ge M \text{ (giống với định lý)}.\\
&\footnotesize \bull \text{Nếu } k=+\infin \text{ thì tồn tại M sao cho } f(x) \ge c.g(x), \forall x \ge M \text{ (ngược với định lý)}.
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\footnotesize \bull \text{Nếu tồn tại } \lim\limits_{t\to b^-}\intop_a^tf(x)dx \text{ thì giới hạn đó được gọi là}\textbf{ tích phân suy rộng } \text{của hàm số }f(x) \text{ trong khoảng }\\
&\footnotesize \text{[a, b] và có ký hiệu là}\intop_a^bf(x)dx.\\
&\footnotesize \bull \text{Khi đó, ta cũng nói rằng tích phân hội tụ: }\intop_a^bf(x)dx:=\lim\limits_{t\to b^-}\intop_a^tf(x)dx.\\
&\footnotesize \bull \text{Nếu }f(a)=+\infin: \intop_a^bf(x)dx:=\lim\limits_{t\to a^+}\intop_t^bf(x)dx.\\
&\footnotesize \bull \text{Nếu }f(c)=+\infin\text{ (với }c\in (a;b)): \intop_a^bf(x)dx= \intop_a^cf(x)dx+\intop_c^bf(x)dx
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\footnotesize \bull \text{Nếu }\intop_a^bg(x)dx \text{ hội tụ thì }\intop_a^bf(x)dx \text{ hội tụ.}\\
&\footnotesize \bull \text{Nếu }\intop_a^bf(x)dx  \text{ phân kỳ thì }\intop_a^bg(x)dx \text{ phân kỳ.}\\
\end{aligned}

\lim\limits_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=k

\begin{aligned}
&\footnotesize \bull \text{Nếu } 0< k < +\infin \text{ thì }\intop_a^bf(x)dx \text{ và} \intop_a^bg(x)dx \text{ sẽ cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.}\\
&\footnotesize \bull \text{Nếu } k=0 \text{ thì tồn tại c ∈ (a;b] sao cho }f(x) \le k.g(x), \forall x ∈ (a;c]\text{ (giống với định lý)}.\\
&\footnotesize \bull \text{Nếu } k=+\infin \text{ thì tồn tại c ∈ (a;b] sao cho } f(x) \ge k.g(x), \forall x ∈ (a;c]\text{ (ngược với định lý)}.
\end{aligned}

\text{Tính: }I(x)=\intop_0^{\infin}\frac{1-cosxt}{t^2}dt

\begin{aligned}
&\bull \ L|I(x)|=\intop_0^\infin e^{-px}\left( \intop_0^\infin\frac{1-cosxt}{t^2}dt\right)dx\\
&=\intop_0^\infin\frac{1}{t^2}\left[ \intop_0^\infin e^{-px}(1-cosxt)dx\right]dt\\
&=\intop_0^\infin\frac{1}{t^2}L(1-cosxt)dt\\
&=\intop_0^\infin\frac{1}{t^2}\Bigg(\frac1p-\frac{p}{p^2+t^2}\Bigg)dt\\
&=\left.\frac{1}{p}arctg\frac{t}{p}\right|_{t=0}^\infin=\frac{\pi}{2p^2}\\
&\bull L^{-1}\Bigg[ \frac{\pi}{2p^2} \Bigg]=\frac{\pi}{2}x\\
&\text{Vậy }I(x)=\frac{\pi}{2}x
\end{aligned}

\text{Tính }I=\intop_0^\infin e^{-x}\left(\intop_0^x\frac{e^{-t}-1}{t}dt\right)lnxdx

\begin{aligned}
&I=\intop_0^\infin e^{-x}\left(\intop_0^x\frac{e^{-t}-1}{t}dt\right)lnxdx\\
&=\intop_0^\infin e^{-x}\left(\intop_0^x\frac{\sum\limits_{n=0}^\infin \frac{(-t)^n}{n!}-1}{t}dt\right)lnxdx\\
&=\sum_{n=1}^\infin\frac{(-1)^n}{n!n}\intop_0^\infin e^{-x}\left( \intop_0^xt^{n-1}dt\right)lnxdx\\
&=\sum_{n=1}^\infin\frac{(-1)^n}{n!n}\intop_0^\infin e^{-x}x^nlnxdx\\
&=\sum_{n=1}^\infin\frac{(-1)^n \Gamma'(n+1)}{n!n}\\
&=\sum_{n=1}^\infin\frac{(-1)^n \Psi(n+1)}{n}\\
&\text{Trong đó: } \Gamma(x) \text{ và } \Psi(x) \text{ là các hàm Gamma và PolyGamma.}\\
&\sum_{n=1}^\infin\frac{(-1)^n \Psi(n+1)}{n}=\gamma ln2+\intop_0^1\frac{-ln2+ln(1+t)}{1-t}dt=\frac{1}{12}(-\pi^2+12\gamma ln2+6ln^22)\\
&\text{Trong đó: } \gamma \text{ là hằng số Euler - Mascheroni.}
\end{aligned}